一、系统框图与系统函数

1、连续时间系统

（1）

(资料图片仅供参考)

设置输入输出信号的 Laplace 变换分别为 。 根据系统框图的结果， 可以写出各个节点对应的表达式。

根据最后一个综合器的输出到系统输出之间的关系， 可以写出方程：

所以系统的系统函数为：

（2）

对 进行因式分解：

写出对应的时域表达式， 便得到系统的单位冲激响应：

（3）

由于 中包含有一个指数增加的分量， 所以 的绝对值积分趋于无穷大， 所以该系统是一个不稳定系统。

（1）

设 Y(s) 前面一个节点为 W(s)， 那么 ： 。

分别写出前面个之路的信号， 根据第一个综合器写出方程：

求解出 W(s)：那么：

可以得到系统的系统函数：

（2）

根据 ， 对应的 Laplace变换为：

系统的零状态对应的 Laplace 变换为：

考虑

对应的时域信号表达式：

再根据 Laplace 时移特性， 系统的零状态输出是上述信号延迟时间 1：

（3） 由于 包含有一对共轭极点 ， 位于虚轴上， 所以该系统不是一个稳定系统。

2、离散时间系统

（1） 根据系统的零极点的分布， 可以写出系统函数：

其中的 是待定系数。 根据已知系统的初值 ， 由 z 变换的初值定理：

所以系统的系统函数为 ：

系统的单位样值相应 是系统函数 的 z 反变换结果。 根据因式分解方法， 可以写出 的时域表达式：

写出对应的右边序列表达式：

（2） 根据系统函数 ， 可以写出对应的差分方程：

可以绘制出与差分方程对应的系统框图， 如下图所示：

（3） 根据 ， 所以 。 系统的零状态响应的 z 变换为：

利用因式分解， 可以获得 的表达式：

（1） 选择系统框图中 第二、三综合器之间的变量为 。 分别写出图中个支路对应的信号。 根据第二、三综合器写出两个方程。

根据上面两个方程， 写出 与 之间的代数关系， 如下：

那么， 系统函数为：

（2） 将输入信号进行 z 变换， 得到输入信号的 z 变换表达式：

那么， 系统的零状态响应的 z 变换为：

利用因式分解方法， 求上式的 z 反变换， 可以得到系统零状态响应的时域表达式：

（3） 由于该系统的系统函数中， 存在有两个极点位于 单位圆外， 在单位圆上存在两个极点。 所以系统不是一个稳定系统。 由于系统是一个有理分式， 分子的阶次与分母的阶次相同， 该系统函数的收敛域包含 z 平面上的无穷远点。 所以该系统是一个 因果系统。

在系统框图中添加中间临时变量 。 写出系统中各分支对应的变量。

根据系统框图中累加器关系，可以得到如下方程：

消去 临时变量，得到系统函数：

根据系统给出的 表达式，代入上面 ， 可得：

进行因式分解，可得：

写出相同响应对应的右边序列：

（2） H(z) 的极点都在单位圆内， 系统是未定的。

二、系统的稳定性与因果性

系统的零状态响应与输入信号之间的关系可以由卷积运算而得： 。 在 Laplace 变换域内， 它们之间是乘积关系： 。 所以 系统的输入的 Laplace 变换等于： 。 根据已知的 ， 可以知道它们对应的 Laplace 变换分别为：

因此：

所以，输入信号为：

（1） 根据系统的差分方程， 可以写出系统的系统函数：

根据系统的零状态输出， 可以写出它的 z 变换：

那么系统的激励信号的 z 变换为：

对应的时域序列信号为：

（2） 根据系统的差分方程， 系统的一种实现结构框图如下图所示：

（1） 这个题目原来是在第二章， 现在在 Laplace 变换域内讨论这个题目的求解过程。 将两次系统的输入和输出都进行 Laplace 变换。

系统的完全输出等于零状态响应加上零输入响应：

上面两个表达式相减，可得：

所以

进行 Laplace 反变换可得：

（2） 根据已经求得的 ， 可以求得 ：

进行 Laplace 反变换，可得：

（3）

将 进行 Laplace 变换：

那么系统的完全响应为：

对应的时域信号为：

三、系统的稳定性与因果性

1、连续时间系统

（1） 根据系统框图，可以写出系统的系统函数为：

（2） 系统函数的两个极点分别为：

当 14" data-formula-type="inline-equation">时， 对应的极点都位于 s 平面的左半平面， 系统稳定。

（3） 当 ， 即 时， 系统函数具有二重极点， 极点为 。 此时， 系统函数为：

系统的单位冲激响应为：

2、离散时间系统

（1） 根据系统框图，可以得到如下方程：

简化之后， 可以得到系统的系统函数为：

（2） 整理系统函数如下：

系统函数的两个极点分别为：

下面绘制出l个极点对应不同 K值变化情况。

分别求出一下两个方程对应的根， 可以知道 K 取值在 之内时， 两个极点都位于单位圆内。

因此， 当 时， 系统是稳定的。

3、判断系统的稳定性

（1） 系统的系统函数为：

系统的极点为 ， 位于单位圆外。 该因果系统为 不稳定系统。

（2） 系统的系统函数为：

系统 在 处有一个两阶极点，所以该系统为不稳定系统。

4、判断系统的因果性

四、求解系统函数

1、问题1

1、根据系统是因果、稳定、LTI系统， 可以知道系统的有利系统函数的极点都位于 s 平面的左半平面。

2、根据系统在 的左腋下， 系统的输出为加v对可积， 表明 的有炼狱包含着虚轴， 即 没有 出的极点， 所以 至少包含有一个 的零点。

3、根据系统在 的作用下， 系统的输出不是绝对可积， 因此， 在 处的零点不超过两阶， 所以系统函数可以写成：

4、根据 ${{d^{2 } \over {dt}2 }}h\left( t \right) + 3{d \over {dt}}h\left( t \right) + 2\left( {s^{2 + 3s + 2} \right)H\left( s \right)B\left( s \right) = s}2 + 3s + 2$ 。

5、根据 在无穷远点只有一个一阶零点， 说明 的分子比分母阶次小于 1， 所以系统函数可以写成：

6、根据 ， 可以求得：

最终， 该系统的系统函数为：

2、问题2

将 进行 Laplace 变换：

由于 是实数函数， 所以 应该包含有共轭函数：

所以：

对比LTI输出信号的表达式， 可以知道 。

因为

五、电路系统分析

1、受控电压源

（1） 为了 ， 分别考虑在 和 作用下， 在 上所形成的电压。

考虑 时， 仅仅在 作用下 C1 上的电压：

考虑 时， 仅在 作用下， C1 上的电压：

所以：

在根据

对上面表达式进行化简：

电路的系统函数为：

（2） 当 时， 对应的电路系统函数为：

进行 Laplace 反变换， 可以得到电路的单位冲击响应：

电路的单位阶跃响应：

进行 Laplace 反变换， 可以得到电路的单位阶跃响应：

电路的单位阶跃响应如下图所示：

2、全通网络

根据对称的 LC 网络， 将其整理成对称的交流电桥的形式， 如下图所示。 负载R连接在电桥的中点电压。

为了简化电路求解， 利用戴维宁定理， 将电桥两边分别等效成电压源与电抗的串联形式。 电路的等效形式如下图所示。 两边的等效电路中， 恒压源 为输出开路时对应的 LC 分压数值。 电压源的内阻 为从网络输入端口处的等效交流电阻。

下面分别计算出 以及 。

作用在输出电阻 R 上的输出电压为：

所以，电路的传递函数为：

当 时， 对应的电路传递函数可以化简为：

此时， 该系统为一个全通电路系统。

参考资料

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